Церковное предание связывает основание монастыря с именем священномученика Климента – Римского епископа с 92 по 101 год. В Кесарии Климент принял крещение от апостола Петра, после чего продолжил путешествие с ним, разделив все труды и опасности. За проповедническую деятельность и праведную жизнь Климент был рукоположен апостолом Петром в епископы города Рима. Многих идолопоклонников-римлян он обратил в христианство, чем навлек на себя гнев римского императора Траяна. В 94 г. император Траян сослал папу Климента на каторжные работы в северную провинцию Римской империи – на полуостров Таврический, в город Херсонес.